Մաթեմատիկա

Մաթեմատիկ

Եթե բազմանիշ թվի վերջին 2 թվանշաններով գրվող երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի, ապա բազմանիշ թիվն էլ կբաժանվի 4-ի: Վերջին թվանշանը պետք է լինի 0,4 կամ 8:

Թիվը կբաժանվի 9-, իեթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի

1. Գրեք 43*2* տեսքի բոլոր այն հնգանիշ թվերը, որոնք առանց մնացորդի բաժանվում են 36-ի:

43020,43920,43524,43128

2. Գտեք այն երկնիշ պարզ թիվը, որին եթե ավելացնենք իր թվանշանների գումարը, եռանիշ պարզ թիվ կստացվի:

97+16=113

3. Գտեք ամենափոքր թիվը, որը 2-ի բաժանելիս տալիս է 1, 3-ի բաժանելիս՝ 2, 4-ի՝ 3, 5-ի՝ 4 մնացորդները:

59:2=1 մնացորդ, 59:3=2 մնացորդ, 59:4=3 մնացորդ, 59:5=4 մնացորդ

5. Հաշվեք. 1-2+3-4+5-6+⋯+99-100

-50

6. Գտեք արտադրյալը.

7. Խոտի պաշարը կովը ուտում է 20 օրում, ձին՝ 30 օրում: Քանի՞ օրում կուտեն խոտի այդ պաշարը երկուսը միասին:

12 օրում

Վարժություններ

1.GeoGebra ծրագրով, օգտագործելով «սողնակ» գործիքը գծեք y=kx ֆունցիայի գրաֆիկը: Աշախատեցրեք «սողնակ» գործիքը, հետևելով ուղղի վարքին: Գրեք, թե k-ն փոփոխելով, ինչպես է փոխվում ուղղի վարքը:

k-ն գործակից է, որն ազդում է առանցքների ուղղակի գծի անկյունի վրա: Ավելի ճիշտ, սա ուղիղ գծի և առանցքային անկյունի միջև ընկած անկյունն է:

2.GeoGebra ծրագրով, օգտագործելով «սողնակ» գործիքը գծեք y=2x+b ֆունցիայի գրաֆիկը: Աշախատեցրեք «սողնակ» գործիքը, հետևելով ուղղի վարքին: Գրեք, թե b-ն փոփոխելով, ինչպես է փոխվում ուղղի վարքը:

b -ն գործակից է, որն ազդում է գրաֆիկի y առանցքի տեղաշարժի վրա. եթե այն հավասար է մեկի, գրաֆիկը կտեղափոխվի մեկ միավորով վերև:

Գծային ֆունկցիա

Դիտարկենք y=kx+b ֆունկցիան:Այսպիսի բանաձևով տրվող ֆունկցիաները անվանում ենք գծային: Օրինակ՝ y=2x+5:

x	2	3	4	5	6
y=2x+5	9	11	13	15	17

Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Դիտարկենք y=kx ֆունկցիան:

y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով՝(0;0) կետով:

Եթե k=0, ֆունկցիայի գրաֆիկը կհամնկնի x-երի առանցքի հետ:

Երբ k>0, y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկը անցնում է առաջին և երրորդ քառորդներով:

y=x ֆունկցիայի գրաֆիկը առաջին և երրորդ քառորդների անկյան կիսորդն է:

Երբ k<0, y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկը անցնում է երկրորդ և չորրորդ քառորդներով:

y=-x ֆունկցիայի գրաֆիկը երկրորդ և չորրորդ քառորդների կիսորդն է:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

313.Գտնել f ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերի կոորդինատները, եթե՝

ա)y=5x-9

x=0        y=0

y=0-9     -5x=-9-0

y=-9        -5x=-9

x=9/5

y-երի հետ հատման կետը կլինի (0;-9)

x-երի հետ հատման կետը կլինի (9/5;0)

բ)y=15-3x

x=0          y=0

y=15-0     3x=15-0

y=15        3x=15

x=15/3

y-երի հետ հատման կետը կլինի (0;15)

x-երի հետ հատման կետը կլինի (15/3;0)

գ)y=3x²-2x-8

x=0        y=0

y=0-8     3x²-2x-8=0

y=-8        D=b²-4ac

D=4+96

D=100

x1=2

x2=-4/3

x-երի հետ հատման կետը կլինի (2;0) և (-4,3;0)

y-երի հետ հատման կետը կլինի (0;-8)

y մեծության կախվածությունը x մեծությունից որոշվում է հետևյալ կերպ.                      x մեծության յուրաքանչյուր արժեքի համար նրա խորանարդից հանում ենք 2:

Այդ կախվածությունը արտահայտեք բանաձևի միջոցով: x փոփոխականի 5 տարբեր արժեքների համար հաշվեք y-ի համապատասխան արժեքները:

y=x³-2

x=1         x=2        x=3         x=4         x=-4

y=1-2     y=2³-2    y=3³-2    y=4³-2    y=-4³-2

y=-1       y=8-2     y=27-2    y=48-2    y=-48-2

y=6         y=25       y=46       y=-50

y մեծության կախվածությունը x մեծությունից որոշվում է հետևյալ կերպ.

y-ի արժեքը հավասար է x-ի արժեքի եռապատիկից հանած 7,երբ x-ը 10-ից մեծ թիվ է, և y-ի արժեքը հավասար է x-ի քառակուսուց հանած 3, երբ x-ը փոքր կամ հավասար է 10-ից:

Հաշվեք y-ի արժեքը, երբ x-ը հավասար է 0,-2, 5, 12, 20.

y=x²-3     y=x²-3      y=x²-3      y=3x-7            y=3x-7

x=0          x=-2         x=5           x=12                x=20

y=0-3      y=-2²-3     y=5²-3      y=(3*12)-7      y=(3*20)-7

y=-3        y=4-3      y=25-3     y=36-7             y=60-7

y=1       y=22         y=29                y=53

Շրջանի շառավիղը 30մ է: Մեկ քառակուսի մետրի վրա կարող է կանգնել 6 մարդ: Հաշվեք թե այդ դեպքում քանի մարդ է եղել ֆրանսիական հրապարակում:

2827*6=16962

Տրված է y=3x-5 ֆունկցիան: Գտեք y-ի արժեքը, երբ x-ը հավասար է զրո: Գտեք x-ի որ արժեքի դեպքում է ֆունկցիան ընդունում զրո արժեքը: Հաշվեք ֆունկցիայի արժեքը, երբ x-ը հավասար է 5,6,7: Հաշվեք ֆունկցիայի արժեքը, երբ x-ը հավասար է -5,-4,-3:

y=3x-5    y=3x-5       y=3x-5          y=3x-5           y=3x-5        y=3x-5     y=3x-5       y=3x-5

x=0          0=3x-5       x=5               x=6                 x=7             y=-15-5     y=-12-5     y=-9-5

y=0-5       -3x=-5-0    y=(3*5)-5      y=(3*6)-5      y=(3*7)-5     y=-20       y=-17         y=-14

y=-5        -3x=-5       y=15-5          y=18-5           y=21-5

x=            y=10             y=13             y=16

y=-2x+5      y=-2x+5      y=-2x+5     y=-2x+5      y=-2x+5       y=-2x+5

x=-5            x=-4            x=-3           x=5              x=6               x=7

y=10+5       y=8+5         y=6+5         y=-10+5       y=-12+5       y=-14+5

y=15           y=13           y=11           y=-5             y=-7             y=-9

y=x²            y=x²       y=x²         y=x²            y=x²             y=x²

x=-5          x=-4       x=-3       x=5         x=6         x=7

y=25       y=16         y=9        y=25       y=36       y=49

Առաջադրանքնր

293. Գտնել f ֆունկցիայի արժեքները տրված x կետերում.

ա) f(x)=x+1/x, x=-2, x=3, x=1/3

f(-2)=-2-1/2

f(-2)=1/2

f(3)=3+1/3

f(3)=4/3

f(1/3)=1/3+1/1/3

f(1/3)=4/3

բ) f(x)=√4x-x²+1, x=0, x=2, x=4

f(0)= +1

f(0)=1

f(2)= +1

f(2)=3

f(4)= +1

f(4)=1

դ) f(x)=x³+³√x, x=-1, x=0, x=8

f(-1)=-1+³√-1

f(-1)=-2

f(0)=0+³√0

f(0)=0

f(8)=512+³√8

f(8)=512+2

f(8)=514

295. ա) Գտնել f(1)-ը, f(1,5)-ը, f(2)-ը և f(√6)-ը, եթե՝

f(x)={x-1, երբ x[0;1,5]

{7-4x, երբ x(1,5; 2]

{x^2+2, երբ x(2; 3]

f(1)=1-1=0

f(1,5)=1,5-1=0,5

f(2)=7-(4*2)=-1

f(√6)= (√6)²+2=8

բ) Գտնել f ֆունկցիայի արժեքը -2; -1/3; 0,5; √2 կետերում, եթե

f(x)={x^3, երբ x<=-1

{1-x, երբ -1<x<1

{x^2-1, երբ x>=1

f(-2)=-2³+3=-8+3=-5

f(-1/3)=1+1/3=4/3

f(0,5)=1-0,5=0,5

f(√2)= (√2)²-1=2-1=1

59. ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում,E-ն AB կողմի միջնակետն է,<BAC-50⁰: Գտեք <AOE-ն:

                                    
        

1. Կատարեք բազմապատկում 

(x + 2)(x - 3) =   x^2-3x+2x-6=x^2-x-6                    

 (5x + 1)(2x + 4) 

=10x^2+20x+2x+4=10x^2+22x+4 

(3b + 2)(4 – b) = 12b-3b^2+8-2b=3b^2+10b+8                    

  (2y - 5)(4y – 3) =8y^2-6y-20y+15=8y^2-26y^2+15 

(3a + 4)(2a - 3) = 6a^2-9a+8a-12=6a^2-a-12                      

 (7z – 3)(5z – 2) =35z^2-14z-15z+6= 35z^2-29z+6 

2. Աստիճան բարձրացրեք 

(a3)2 = a^6           (x2)4 = x^8         (-y4)3 = (-y)^12    (-y3)4 = (-y)^12   (-x5)4 =(-x)^20     

  (-x4)5 = (-x)^20 

3. Կատարեք բաժանում 

5b : b = 5            6a : (-6) = -а     -3x : (-x) = 3     20z : (5z) =4           6mn : (3n) =2m       

  6mn : 3n = 2m 

  Գործողություններ նման անդամների հետ

      

1. 1.Կատարեք նման անդամների միացում 

  5a + 2a = 7a         

  6b - 4b =2b  

  2x + 7x – 5x =  4x  

  3y – y – 4y + 8y =  6y 

 4a – 5b – 2a – 3b =2a-8b    

 7x2 – 6x – 5x2 + 3x =   2x2- 

5ab – 4a + 6b + 8a – 2b + 3ab =8ab+4a+4b 

       2. Բացեք փակագծերը և կատարեք նման անդամների միացում 

5a – (2a + 3b) =5a-2a-3b=3a-3b  

 7x – (4x -2y) = 7x-4x+2y=3x+2y 

 9m + (6n – 7m) = 9m+6n-7m+2m+6n 

(3a2 – 5a) – (a2 – 4a) =3a2-5a-a2  +4a=2a2 -a 

 5b + ( -3b – 2c) + (b + 4c) = 5b-3b-2c+b+4c=3b+2c 

2. 3.Կատարեք բազմապատկում  

  (x + 3)5 = 5x+15                                  6(3y – 4) =18y-24    

   (2m + 3n )7 =  14m-21n                    c(2a + 5b) =  2ac+5bc       

-4a(3b – 2a) = 12ab+8a2                              (-5x + 3y)2x =10x+6yx               

  (3a – 4b + 5c)(-2) =-6+8b-10c            x3(x2 + x – 2) = x5+x4-2x3 

                 Պյութագորասյան եռանկույն

Պյութագորասի թեորեմը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիքի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։

Բնական թվերի եռյակը, որը բավարարում է պյութագորասի թեորեմին անվանենք պյութագորասի թեորեմ։

Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը նշանակենք x և y, ներքնաձիքը z:

X²+Y²=Z²

Հարց 1. Կա ուղղանկյան եռանկյուն, որի կողմերը բնական թվեր են։

3²+4²=5²

Հարց 2. Քանի այդպիսի եռյակ գոյություն ունի։

Գոյություն ունի 8 եռյակ: (xyz եռյակը բավարարում է Պյութագորասի թեորեմին, kx,kz,ky կբավարարի:)

(kx)²(ky)²=(kz)²

Գումարման տեղափոխական օրենք

a+b=b+a

գումարման գործողության զուգորդաման օրենք

Արտադրիչների տեղերը փոխելիս գումարը չի փոխվում։

a+b+c=a(b+c)

գումարման գործողության բաշխման օրենք

(a+b)c=ac+bc

Կոտորակների բազմապատկման օրենք

a/b*c/d=ac/bd

Կոտորակների տեղափոխման օրենք

c/d*a/b=ac/bd

Քանի որ a,b,c,d թվերը իրար բնական են նրանց համար տեղի ունի բազմապատկման տեղափոխական օրենքը ,այսինքն c*a=a*c,b*d=d*b:Ստացանք,որ կոտորակների համար նման ձևով սահմանված բազմապատկման գործողությունը բավարարում է բազմապատկման տեղափոխման օրենքին։

Կոտորակների զուգորդական օրենք

a/c*b/d*

          կրկնություն

Մեկ անհայտով գծային առաչին աստիճանի հավասարումներ;

X+7=15

X=8

Անհայտ գումարելին գտնելու համար հանում ենք գումարելին;

x-15=20

x=20+15

x=35

Անհայտ նվազելին գտնելու համար տարբեռությանը գումարում ենք հանելին;

3.40-36=x

4=x

Անհայտ հանելին գտնելու համար նվազելիյից հանում ենք տարբերությունը

4.3*x=21

X=7

Անհայտ արտադրյալը գտնելու համար արտադրիչը բաժանում ենք արտադրիչի

Վարժ 1. 3x+11=44

3x=33

X=11

Վարժ 2.  2x+4=8

2x=4

X=2

Վարժ 3.  X+7=25

   X=18

 Վարժ 4. X+10=28

X=18

Վարժ 5.4x=2x+18

4x-2x=18

2x=18

X=9

Վարժ 6. 7x=4x+18

7x-4x=18

3x=18

X=6

1. 


21. z եւ t թվերի գումարի քառակուսու կրկնապատիկը:
2(z+t)2

22. x եւ y թվերի գումարի եռապատիկի քառակուսին:
3(x+y)2

20. c եւ d թվերի խորանարդների արտադրյալը:
c3d3

24.c եւ d թվերի կրկնապատիկ արտադրյալի խորանարդը:
(2cd)2

25.p եւ q թվերի գումարի խորանարդի եռապատիկը:
3(p+q)3


2.
11) a թվի եռապատիկը 6-ով փոքր է b-ի հնգապատկից:
3a+6=5b

12)x-ի կրկնապատիկը 4 անգամ փոքր է y-ի եռապատիկից:
8x=4y

13) z եւ t  թվերի գումարի քառակուսին 15-ով մեծ է նրանց քառակուսիների գումարից:
(z+t)2-15=z2+t2


47.երկու հաջորդական բնական թվերի գումարը 23 է: Գտեք այդ թվերի արտադրյալը:
2a+1=23
a=11
11x12=132

48.երեք  հաջորդական բնական թվերի գումարը 30 է: Գտեք այդ թվերի քառակուսիների գումարը:
3a=30
a=10
81+100+121=302